Chapter X · Partial Differentiation


Section 1. The Spaces Rn:

                       D&R      For the positive integer n, Rn is the set of all points in n-space, that is, the set of all ordered n-tuples (a1, a2, . . . , an) of
                                      real numbers. In particular, R2 is the plane and R3 is space. If a = (a1, a2, . . . , an) and b = (b1, b2, . . . , bn), we define
                                      |a - b| to be the square root of ((a1 - b1)2 + . . . + (an - bn)2). Then |a - b| has all the properties of distance. Now let f be
                                      a function whose domain is a set in Rn and whose values are in Rm . Then f is continuous at c means
                                                   ∀ε ∃δ ∀x ( |x - c| < δ ⇒ |f(x) - f(c)| < ε).
                                      This definition is formally the same as before but note that x and c are in Rn and f(x) and f(c) are in Rm .  

                       Ex1          If f is a function from Rn into Rm (the domain is a set in Rn and the values are in Rm ), define lim f = L. In what space is L? [Rm]
                                                                                                                                                                                  a
                       D             f is a function of n (real) variables if the domain of f is a set in Rn and the values of f are real numbers.

                       E             1) f(x, y) = x2 + y2 , domain = R2
                                       2) f(x, y, z) = x2y + yz + x tan z, domain is the cube 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

                       R             The function f defined by f(x, y) = x2 + y2 is continuous at (0, 0).
                                          Proof: Let ε be given. Choose δ = √(ε/2). Then
                                              ∀(x, y) (√((x-0)2 + (y-0)2 ) < δ ⇒ x2 + y2 < ε ⇒ |f(x, y) - f(0, 0)| < ε).

                       R             A function of two variables may not be continuous even though it is continuous in each of the variables seperately. Consider f
                                       defined by f(x, y) = xy/(x2 + y2) for (x, y) ≠ (0, 0)
                                                                  = 0 for (x, y) = (0, 0).
                                       For x = 0, f(0, y) = 0 identically and is continuous at (0, 0). Similarly for y = 0, f(x, 0) is continuous at (0, 0). Now let (x, y)
                                       approach (0, 0) along the line x = y. Then for (x, y) ≠ (0, 0), f(x, y) = x2/(x2 + x2) = 1/2. But f(0, 0) = 0 ≠ 1/2.
                                       Thus f is not continuous at (0, 0).

                       D             An ε-neighborhood of the point c in Rn is the set of all points x such that |x - c| < ε. That is, the interior of an
                                       n-dimensional sphere with center c and radius ε.
                                            Let S be a set of points in Rn . c is an interior point of S if there is an ε-neighborhood of c that lies entirely in S.
                                            S is open if every point of S is an interior point of S.
                                            d is a limit point of S if every ε-neighborhood of d contains at least one point of S.
                                            S is closed if S contains all of its limit points. (In general, S is neither open nor closed.)
                                            The boundary of S is the set of all limit points of S that are not interior points of S.
                                            S is connected if every pair of points in S can be connected by a polygonal path lying entirely in S.
                                            A domain is a connected open set. A region is a domain together with some (or none, or all) of its boundary.
                             
                                                                                      

Section 2. Partial Differentiation:

                       R            The theorems below are given for functions of two variables, but they hold for functions of n variables.

                       D            Let f be a function of two variables.
                                        (1) Then f1(a, b) by definition = lim f(a + Δx, b) - f(a, b)
                                                                                        Δx→0            Δx                     
                                        (2)   and f2(a, b) by definition = lim f(a, b + Δy) - f(a, b)
                                                                                        Δy→0            Δy
                       N           u = f(x, y)         f1(a, b) =  ∂f |          =   ∂u |  
                                                                            ∂x |(a, b)          ∂x |(a, b)    

                       R            f1 and f2 are also functions of two variables, defined by (1) and (2).

                       E            If f(x, y) = x2 + 2y, then f1(x, y) = 2x and f2(x, y) = 2.

                       Ex2        If f(x, y) = sin (ex + y), find f1 and f2 .
                                         Ans: f1 = ex cos (ex + y) ; f2 = cos (ex + y)

                       T1          (The Mean Value Theorem)
                                      If f is a function of two variables, and f1 and f2 are continuous in a domain D, and the circle with center at (a, b) passing through
                                         (a + Δx, b + Δy) lies entirely in D, then there exist θ1 and θ2 with 0 < θ1, θ2 < 1 such that
                                                      f(a+Δx, b+Δy) - f(a, b) = f1(a+θ1Δx, b)Δx + f2(a+Δx, b+θ2Δy)Δy
                                             Proof: Let Δf = f(a+Δx, b+Δy) - f(a, b).
                                                Then adding and subtracting f(a+Δx, b) gives
                                                Δf = [f(a+Δx, b) - f(a, b)] + [f(a+Δx, b+Δy) - f(a+Δx, b)].
                                                Let φ be defined by φ(x) = f(x, b). Then φ'(x) = f1(x, b). By the mean value theorem,
                                                      f(a+Δx, b) - f(a, b) = f1(a+θ1Δx, b)Δx for some θ1 with 0 < θ1 < 1.
                                                Let ψ be defined by ψ(y) = f(a+Δx, y). Then ψ'(y) = f2(a+Δx, y). By the mean value theorem,
                                                      f(a+Δx, b+Δy) - f(a+Δx, b) = f2(a+Δx, b+θ2Δy)Δy
                                                for some θ2 with 0 < θ2 < 1.

                       T2            (The Chain Rule)  
                                         If f, g and h are functions of two variables and f, g, h, f1, f2, g1, g2, h1 and h2 are all continuous and F is defined by
                                         F(r, s) = f(g(r, s), h(r, s)), then F1(r, s) =  [f1(g(r, s), h(r, s))][g1(r, s)] + [f2(g(r, s), h(r, s)][h1(r, s)] and
                                                                                        F2(r, s) =  [f1(g(r, s), h(r, s))][g2(r, s)] + [f2(g(r, s), h(r, s)][h2(r, s)] or

                                          in other notation, if x = g(r, s) and y = h(r, s) and u = F(r, s) = f(x, y), then
                                          ∂u   =   ∂u ∂x  + ∂u ∂y                 ∂u   =   ∂u ∂x  + ∂u ∂y                                    
                                          ∂r         ∂x ∂r      ∂y ∂r       and     ∂s         ∂x ∂s     ∂y ∂s                              
                                                                                                                                                               
                                           Proof: F1 (r, s) = ∂u |          =  lim ΔF/Δr
                                                                      ∂r |(r, s)         Δr→0      
                                                Now ΔF = f(g(r+Δr, s), h(r+Δr, s)) - f(g(r, s), h(r, s))
                                                Let g(r+Δr, s) = x+Δx, and let h(r+Δr, s) = y+Δy.
                                                Then ΔF = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y).
                                                By T1, ΔF = f1(x+Δxθ1, y)Δx + f2(x+Δx, y+θ2Δy)Δy.
                                                ∴ ΔF/Δr = f1(x+Δxθ1, y)Δx/Δr + f2(x+Δx, y+θ2Δy)Δy/Δr.

                                                Now Δr → 0, Δx  → ∂x|  =  g1(r, s)   
                                                                       Δr        ∂r|(r, s)                 and
             
                                                                       Δy  → ∂y|  =  h1(r, s)
                                                                       Δr        ∂r|(r, s)    

                                                  ∴ lim ΔF  =  f1(x, y)∂x  +  f2(x, y)∂y
                                                     Δr→0 Δr                 ∂r                 ∂r

                                                  ∴ ∂u  =  ∂u ∂x  +  ∂u ∂y
                                                       ∂r      ∂x  ∂r      ∂y ∂r.
                                                  The other part of the theorem is proved similarly.

                       R             T2 is easily extended, as the following examples show.

                       E             u = f(x, y, z), x = g(r, s), y = h(r, s), z = k(r, s)
                                         Then
                                                  ∂u  =  ∂u ∂x  +  ∂u ∂y  +  ∂u ∂z
                                                  ∂r       ∂x ∂r       ∂y ∂r       ∂z ∂r

                       E             u = f(x, y), x = g(t), y = h(t)                                         
                                         Then
                                                   du  =  ∂u dx  +  ∂u dy
                                                   dt       ∂x  dt      ∂y dt
             
                       E             u = f(x, y, z), z = g(x, y), y = h(x) or u = f(x, h(x), g(x, h(x)) = F(x).
                                         Then
                                                   du  = ∂u + ∂u dy + ∂u ( ∂z  + ∂z dy)
                                                   dx     ∂x    ∂y dx     ∂z    ∂x    ∂y dx     

                                        The distinction between du/dx and ∂u/∂x is brought out by using functional notations.
                                            Let F(x) = f(x, y, z) = f(x, h(x), g(x, h(x))
                                               Then F'(x) = f1 + f2h' + f3(g1 + g2h')
                                               Thus du/dx = F' while ∂u/∂x = f1 .


                       Ex3           1) If u = f(s2 - t2, t2 - s2), show that t(∂u/∂s) + s(∂u/∂t) = 0.

                                         2) If u = x3f(y/x, z/x), show that x(∂u/∂x) + y(∂u/∂y) + z(∂u/∂z) = 3u.

                                         3) If F(x, t) = f(x + 2t) + f(3x - 2t) and u = x + 2t and v = 3x - 2t, show that
                                                  F1(x, t) = f '(u) + 3f '(v) and
                                                  F2(x, t) = 2f '(u) - 2f '(v).     

Section 3. Second Derivatives:

                       R            Suppose x = g(r, s), y = h(r, s), u = f(x, y), F(r, s) = u = f(x, y).
                                      What is  ∂2u/∂r2 = ∂/∂r(∂u∂r) = (F1)1 = F11 
                                      Now ∂u/∂r = ∂u/∂x (∂x/∂r) + ∂u/∂y(∂y/∂r) = f1g1 + f2h1 .
                                      ∴ ∂/∂r(∂u/∂r) = (∂u/∂x)(∂/∂r)(∂x/∂r) + (∂x/∂r)(∂/∂r(∂u/∂x))
                                                                                 +  (∂u/∂y)(∂/∂r)(∂y/∂r) + (∂y/∂r)(∂/∂r(∂u/∂y))
                                                             =  (∂u/∂x)(∂2x/∂r2 ) + (∂x/∂r)(∂/∂r(∂u/∂x)) + (∂u/∂y)(∂2y/∂r2 ) + (∂y/∂r)(∂/∂r(∂u/∂y)).
                                       Now ∂u/∂x and ∂u/∂y are each functions of x and y.
                                       To get their derivatives with respect to r, we must use the chain rule again. Thus ∂/∂r(∂u/∂x) is computed by using the
                                       original formula, but substituting ∂u/∂x for u.
                                       Then (∂/∂r(∂u/∂x)) = (∂/∂x(∂u/∂x))(∂x/∂r) + (∂/∂y(∂u/∂x))(∂y/∂r)
                                                                    = (∂2u/∂x2)(∂x/∂r) + (∂2u/∂y∂x)(∂y/∂r).

                       Ex4         1) Find F11 using function notation exclusively.
                                       2) Show that 5∂2u/∂x2 + 2∂2u/∂x∂y + 2∂2u/∂y2
                                               becomes ∂2u/ξ2 + ∂2u/∂y2 if we set ξ = (1/3)(x + y) and y = (1/3)(x - 2y).
                                       3) If u = F(r) and f = (x2 + y2 + z2 )1/2 show that
                                                ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2 = d2u/dr2 + (2/r)du/dr.
                                       4) If u = f(x - ct) + g(x + ct) show that ∂2u/∂t2 = c2∂2u/∂x2

                       R              ∂ 2u    =    ∂ 2u
                                        ∂x∂y        ∂y∂x     if they are continuous.


                                         The End.